早在原始人时代,人们在生产活动中注意到一只羊与许多羊,一头狼与整群狼在数量上的差异,随着时间的推移慢慢的产生了数的概念。数的概念的形成可能与火的使用一样古老,大约是在30万年以前,它对于人类文明的意义也决不亚于火的使用。
最早人们利用自己的十个指头来记数,当指头不敷应用时,人们开始采用“石头记数”“结绳记数”和“刻痕记数”。在经历了数万年的发展后,直到距今大约五千多年前,才出现了书写记数以及相应的记数系统。早期记数系统有:公元前3400年左右的古埃及象形数字;公元前2400年左右的巴比伦楔形数字;公元前1600年左右的中国甲骨文数字;公元前500年左右的希腊阿提卡数字;公元前500年左右的中国筹算数码;公元前300年左右的印度婆罗门数字以及年代不详的玛雅数字。这些记数系统采用不同的进制,其中巴比伦楔形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十进制外,其他均采用十进制。记数系统的出现使人类文明向前迈进了一大步,随着生产力的不断发展,数字不断完善,数学就逐渐的发展起来。

阿拉伯数字并不是阿拉伯人发明创造的,而是发源于古印度,后来被阿拉伯人掌握、改进,并传到了西方,西方人便将这些
数字称为阿拉伯数字。以后,以讹传讹,世界各地都认同了这个说法。   阿拉伯数字是古代印度人在生产和实践中逐步创造出来的。   在古代印度,进行城市建设时需要设计和规划,进行祭祀时需要计算日月星辰的运行,于是,数学计算就产生了。大约在公元前3000年,印度河流域居民的数字就比较先进,而且采用了十进位的计算方法。   到公元前三世纪,印度出现了整套的数字,但在各地区的写法并不完全一致,其中最有代表性的是婆罗门式:这一组数字在当时是比较常用的。它的特点是从“1”到“9”每个数都有专字。现代数字就是由这一组数字演化而来。在这一组数字中,还没有出现“0”(零)的符号。“0”这个数字是到了笈多王朝(公元320—550年)时期才出现的。公元四世纪完成的数学著作《太阳手册》中,已使用“0”的符号,当时只是实心小圆点“·”。后来,小圆点演化成为小圆圈“0”。这样,一套从“1”到“0”的数字就趋于完善了。这是古代印度人民对世界文化的巨大贡献。   印度数字首先传到斯里兰卡、缅甸、柬埔寨等印度的近邻国家。   公元七到八世纪,地跨亚非欧三洲的阿拉伯帝国崛起。阿拉伯帝国在向四周扩张的同时,阿拉伯人也广泛汲取古代希腊、罗马、印度等国的先进文化,大量翻译这些国家的科学著作。公元771年,印度的一位旅行家毛卡经过长途跋涉,来到了阿拉伯帝国阿拔斯王朝首都巴格达。毛卡把随身携带的一部印度天文学著作《西德罕塔》,献给了当时的哈里发(国王)曼苏尔。曼苏尔十分珍爱这部书,下令翻译家将它译为阿拉伯文。译本取名《信德欣德》。这部著作中应用了大量的印度数字。由此,印度数字便被阿拉伯人吸收和采纳。   此后,阿拉伯人逐渐放弃了他们原来作为计算符号的28个字母,而广泛采用印度数字,并且在实践中还对印度数字加以修改完善,使之更便于书写。   阿拉伯人掌握了印度数字后,很快又把它介绍给欧洲人。中世纪的欧洲人,在计数时使用的是冗长的罗马数字,十分不方便。因此,简单而明了的印度数字一传到欧洲,就受到欧洲人的欢迎。可是,开始时印度数字取代罗马数字,却遭到了基督教教会的强烈反对,因为这是来自“异教徒”的知识。但实践证明印度数字远远优于罗马数字。   1202年,意大利出版了一本重要的数学书籍《计算之书》,书中广泛使用了由阿拉伯人改进的印度数字,它标志着新数字在欧洲使用的开始。这本书共分十五章。在第一章开头就写道:“印度的九个数目字是‘9、8、7、6、5、4、3、2、1’,用这九个数字以及阿拉伯人叫做‘零’的记号‘0’,任何数都可以表示出来。”   随着岁月的推移,到十四世纪,中国印刷术传到欧洲,更加速了印度数字在欧洲的推广与应用。印度数字逐渐为全欧洲人所采用。   西方人接受了经阿拉伯传来的印度数字,但他们当时忽视了古代印度人,而只认为是阿拉伯人的功绩,因而称其为阿拉伯数字,这个错误的称呼一直流传至今。

罗马数字

罗马数字是阿拉伯数字传入之前使用的一种数码。罗马数字采用七个罗马字母作数字、即Ⅰ(1)、X(10)、C(100)、M(1000)、V(5)、L(50)、D(500)、M(1000)。当时欧洲的主流观点认为零就是没有,就是虚无。那么虚无的东西不可以用实际的符号来表达。而且0会使很多逻辑失效(比如任何数除以0无意义),人们认为这是一个异端的数字。罗马人在需要的时候nulla或nihil表示零,但是没有特定的数学符号
罗马数字起源于古罗马时代,人们在骨骼上划缺口作为计算的一种方式。这种方法的缺点是对于较大的数字,人们很难一眼看出刻了多少缺口。后来,人们想出一个妙招,每刻5个缺口,就用形状“V”来表示,这样无疑读数更清晰快捷。后来,人们决定每10个缺口就用交叉的形状“X”表示。例如如果要表示12,以前人们会用“IIIIIIIIIIII”来表示,后来就演变成“IIIIV IIIIX II"(这里好像有问题,不好理解)。然后人们就会发现,之前的部分都没有用,我们只需符号“XII”来表示12。这恰好就是罗马数字12。所以,这就是罗马数字的起源,并非来源于罗马人,而是他们的祖先。
记数的方法:
  1. 相同的数字连写,所表示的数等于这些数字相加得到的数,如 Ⅲ=3;
  2. 小的数字在大的数字的右边,所表示的数等于这些数字相加得到的数,如 Ⅷ=8、Ⅻ=12、DC=600;
  3. 小的数字(于 Ⅰ、X 和 C)在大的数字的左边,所表示的数等于大数减小数得到的数,如 Ⅳ=4、Ⅸ=9、XL=40、VD=495;
  4. 在一个数的上面画一条横线,表示这个数增值 1,000 倍,如 =5000。
    (貌似没有乘法)

举个例子
罗马数字真的很复杂
用罗马数字写2015年,是MMXV年。
如果用罗马数字写3478,就变成MMMCDLXXVIII;你觉得还能接受?对现代人来说太复杂;
也许会有一个想法的人提出用IIX代替VIII。但是,这样效率并没有多大的提高(为了少一个改掉常年来的习惯,也不值得)

 

记数符号的演变进化历史[教学]

记数符号的演变进化历程

人们所使用的记数符号除了“阿拉伯数字”外,还有(近似值为e2.718281828459)、

-6π(近似值3.1415926535898)等特殊符号,以及被称为“倍值词冠”的μ(微,10)、

-3-236m(毫,10)、c(厘,10)、k(千,10)、M(兆,10)等与单位符号组合的专用符号。

“阿拉伯数字”是当代使用最多的记数符号。了解这套记数符号的进化演变,不仅有助于记数符号的产生历程有更具体的认识,也有助于对科技符号的起源、符号的生存过程作一个大体的了解。人类为创造记数符号花了近4000年的时间,而阿拉伯数字流传于全世界,也不过百余年的时间。

本文所用资料,来源于《文汇》杂志(大约是1980年至1981年间的,由于时间很长,原杂志已遗失)的田海英《数字符号的历史》一文。而其中点评和分析则为笔者的见解。

1.古埃及的记数符号和记数方法

现在所能知道的最古老的数字符号系统,产生于公元前三千年的古埃及和古巴

比伦。

古埃及人在不朽的金字塔和石碑上留下了他们的数字符号。古埃及的数学著作,写在一种又薄又脆的纸草卷上。现存的著名的“兰德纸草卷”(公元前1650年)记载了85道算术题,比它早两个世纪的“莫斯科草卷”记载了25道算术题。这些草卷表明,古埃及人已经采用了系统的十进制数字符号。他们用“一竖”(个别情况下用一横)表示个位数,用弓形表示十位数,绳索表示百位数,莲花茎表示千位数,手指头表示万位数,小青蛙表示十万位数,而百万位数的符号是一个举着手的人形,表示在这样巨大的数字面前吃惊。要写出一个数,就按顺序重复写出每位数的符号。见下图(上面一行表示各个数符的数值,下面一行表示数375的表示方式):

古埃及记数符号

2(古代巴比伦的记数符号和记数方法

跟古埃及人差不多时间,两河流域(今伊拉克一带)的巴比伦人,把他们特有

的数字符号写在泥板上并烧制成砖保存下来。巴比伦数字是是一种“钉头”形状的符号,是“十进制”与“六十进制”并用的记数方法。

为什么出现六十进制,有的认为,因为当地的苏末(Sumer)人使用的重量单位“敏那(Mina),正好是阿卡(Akkad)人的重量单位“舍克(Shekel) 的60倍。另外也有人认为,是因为古巴比伦人的天文学很发达,他们把一年分为360天,把圆周分为360度,每度60分,每分60秒。这种六十进制一直沿用到现在。见下图。

古巴比伦记数符号

3(古代克里特和古希腊的记数符号和记数方法

在希腊的荷马史诗中描写过的地中海明珠——克里特岛,在公元前两千年出

现了一种数字符号系统,它与古埃及数字符号系统有相似之处,但写法作了些简化。其基本符号有:个位数起初用用黑点(后来改用一竖),十位数用一横,百位数用圆圈,千位数用圆圈带短道,万位数用千位数符号的圆圈中加一短横。此外还有表示相加的特殊方法。例证见下图。

古克里特记数符号

这种记数法影响到了古希腊,最初,古希腊人用表示数位读音的首位字母来代替相应的位数,比如,(,,,,)表示十位数,,(,,,,;)表示百位数,,(,,,;)表示千位数。3420就写成希腊字母 ,,,,,,,,,。

到了公元前五世纪,希腊人采用了一种伊奥尼亚(Ionia)数字符号系统。用希腊字母表的24个字母和外来的3个字母(F f,Qq,Шш)来表示1—9的个位数、10—90的十位数、100—900的百位数,共27个基本符号。至于千位数,就用相应数字符号左下角划一道杠表示乘1000倍。见下图。

,, ,, ,, ,, ,, Ff ,, ,, ,,

1 2 3 4 5 6 7 8 9

, , ,, ,, ,, ,, ,, ,; ,, Qq

10 20 30 40 50 60 70 80 90

,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, Шш

100 200 300 400 500 600 700 800 900

古希腊记数符号

采用这种“字母表记数法”的唯一好处是使得一些大数目简单好写,严重缺点是计算困难。

后来,其他许多民族(斯拉夫、亚美尼亚、格鲁吉亚)都在希腊这套数字符号系统的基础上,建立了自己的字母表记数法。此外,古希腊还在腓尼基人影响下产生了一种阿提喀(Attika)数字符号系统,它采用了十进制与五进制相结合的记数方法。

4(古罗马的记数符号和记数方法

公元前五世纪,在阿提喀数字符号系统的影响下生了罗马记数法。后来,罗马

人打败了希腊人,成为地中海文明区的霸主,并建立了包括欧洲南部、英吉利大部、非洲北部、西亚大部地区在内的罗马帝国,希腊语作为教学用的语言被保留下来,罗马数字符号也在罗马帝国范围广泛使用。

罗马记数法采用十进制与五进制相结合,7个基本符号中有4个符号(I、X、C、M)建立在十进制基础上,三个符号(V、L、D)建立在五进制基础上。在记数法中,不仅使用了加法,而且使用了减法。例如,11,写成XI,是X(10)加I(1);4写成IV,而不是写成IIII(4个I),IV表示V(5)减I(1)。见下图。

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

加法表示数示例 VI = V + I = 6 CX = C + X = 110

减法表示数示例 IV = V—I = 4 XC = C—X = 90

古罗马记数符号

5(古代中国的记数符号和记数方法

现在发现的我国最早的数字,是记录在公元前1400年前的殷代甲骨文上的。周代青铜器铭文中的数字写法,与甲骨文大同小异。见下图。

古代中国记数符号

我国古代的的计算方法,不是用记数文字直接进行的,而是借助一种“算筹”,很有特色。上古时代,人们用树枝来计数,后来逐渐形成一套计算办法,小树枝也逐渐变成了竹、铁、牙制的“算筹”。利用算筹可以进行整数和分数的加、减、乘、除、开方等各种运算。直到明代,两千多年间,这种算筹一直是我国的主要计算工具。最早出现算筹数字,据说是公元前四世纪的战国时代。

6(古代马雅的记数符号和记数方法

现在知道的最早的马雅文字,是公元前四世纪的石碑上的铭文。马雅人记数的方法是跟亚洲、非洲、欧洲文化完全隔绝的情况下产生和发展起来的。他们用点、

横、椭圆三种符号,就能写出任何自然数。其中“点”表示1,“横”表示5,“圆圈”则表示相应的数乘以20倍(计算时间时则乘18倍)。马雅数字符号及其记数方法见上图。

7(古代印度的记数符号和记数方法

随着罗马帝国的衰落,数学研究的中心由亚历山大里亚转移到印度。公元五

世纪,印度数学家创制了“零”的数字符号,开始是用一个圆点“,” ,后来用一个圆圈“?”。“0”的数字符号出现,是对记数法的重要贡献,没有“0”,任何记数法的竖式运算都非常复杂。早期的印度数字符号见下图。

古代印度记数符号

印度的数字符号系统建立在四条严格的原则基础上:

(1)位置记数制,从右到左,由个位、十位、百位,„,逐位上升。

(2)十进制,逢十进一。

(3)加法制,实际数值为各位置数值相加的和。

(4)只用0至9的十个基本符号。

印度的数字符号系统,引起了计算技术的革命,之后产生了“九九”乘法表、开方法则以及三角函数表。这套符号系统,也为科技符号语言的产生和发展打开了一个良好的开端。

印度记数方法曾经传到中国是在唐代(公元七世纪),可惜没有在当时的中国流传开来,后来沿着一个相反的方向,经过阿拉伯流传到欧洲。

8(阿拉伯记数符号的来历、演变和流传

公元七世纪,伊斯兰教的创始人穆罕穆德统一了阿拉伯,之后的三个世纪内,阿拉伯帝国向西通过北非扩展到西班牙,向东穿越西亚一直达到印度河流域。公元762年,巴格达已成为阿拉伯帝国的首都;从公元九世纪到文艺复兴以前,它一直是世界学术的中心。大约在公元800年,印度商人把印度数字符号带到了巴格达。阿拉伯人将它们稍加改动,加以推广使用。到十世纪,这套记数法传到了西班牙,

从此被称为“阿拉伯数字”。在阿拉伯数字符号的流传中,东方阿拉伯人写的形态,与西方阿拉伯人写的形态渐渐产生差别。见下表。

阿拉伯记数符号形态演变表

欧洲人对阿拉伯数字符号系统做了进一步的完善,十六世纪发明了十进小数

制,十七世纪发明了指数记数法。

阿拉伯数字在世界范围的流传又经过了几百年时间。公元十二世纪以后,西欧商人开始接受阿拉伯数字及其记数法,但在几百年的时间内,阿拉伯数字遇到了旧习惯势力的抵制。在1299年弗罗伦萨的“交易法”中,明文禁止银行使用阿拉伯数字,规定使用罗马数字。在东欧,希腊数字仍长期沿用,俄罗斯直到十八世纪才用阿拉伯数字及其记数法取代原有的斯拉夫——基利尔字母表记数法。阿拉伯数字在中国开始通行,是在十九世纪初清政府被推翻之后。

9(记数符号演变进化的综合分析

从记数符号及记数方法的演变来看,人们为了纪录数值和探索记数方法,经过了几千年的努力。其过程十分复杂,从一个民族到另一个民族,从地球的一个区域转到另一个区域,与政治中心和经济繁荣紧紧结合在一起,是一件十分不容易的事。为使清晰显示演变年代,笔者梳理归纳下面这张“记数符号演变进化表”。

年 代 记数符号演进 记数法特征

对个位数、十位数、百位数、千位数、万位数、公元前30世纪 古埃及、古巴比伦、古克十万位数、百万位数等位值确定号,实际数值至公元前20世纪 里特岛记数符号出现 用符号的个数表示。是以位值为基础的记数方

法。

对一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、

百、千、万等数值确定符号,实际数值用十进公元前14世纪 古代中国记数符号出现 制的位值和相应的记数符号组合表示。是个位

数值和十以上位值相结合的记数方法。

用24个希腊字母和3个外来字母逐一表示个位公元前5世纪 古希腊记数符号完善 数、十位数、百位数,并用一道赶杠表示数的

1000倍。称为字母表记数法。出现了“倍值”

的符号和记数方法。

对一、五、十、五十、百、五百、千等数值确

定符号,实际数值用五进制、十进制和加法、公元前5世纪 古罗马记数符号出现 减法和相应的符号组合表示。出现了用运算方

式记数方法。

对零、一、二、三、四、五、六、七、八、九公元5世纪 古代印度记数符号出现 等数值确定符号,实际数值用十进制、加法的

符号组合表示。现代阿拉伯数符及记数法出现

雏形。

古印度记数符号及记数符号传入巴格达、西班牙,逐步改进并推广使用。公元7世纪至12并从西班牙开始称为“阿拉伯数字”。

世纪 形态逐渐演变,有的继续在阿拉伯国家使用,有的演变为接近于现代的阿

拉伯数字。

公元16世纪至今 阿拉伯数字从欧洲逐步向世界各国推行。期间发明十小数制、指数记数法。

中国在19世纪开始通行使用。

尽管记数符号及记数方法的演变漫长而复杂,而归结起来,集中表现为三个方面:

其一,记数符号的形体制备和选用。从演变过程看,数值相同的记数符号,其形体可以完全不同。数值意义与符号形体的结合没有必然的联系。形体的变化趋势是使易写、易辩、美观。

其二,关于符号语义的提取和选择。记数符号发展过程中,出现过四类记数符号:

第一类是位值符号,即对个位、十位、百位、千位、万位的数值分别确定为符号。这种方式出现最早,如古埃及、古巴比伦、古克里特的记数符号。

第二类是数值符号,即对具体的数值“一”、“二”、“三”、“四”、“五”、“六”等等确定符号,如:古中国、古希腊、古玛雅的记数符号。

第三类是倍值符号,即规定一些符号的语义不是具体的数值和位值,而是“倍值”——它们本身没有确定的数值而有倍值,只有与其他数符结合才能表示出具体的数值。如:古希腊的“一杠表示1000倍”,古玛雅的“一个圆圈表示20倍”。

-6-3-23本文开始提及的μ(微,10)、m(毫,10)、c(厘,10)、k(千,10)、M

6(兆,10),就属于倍值符号。

第四类是浮值符号,即记数符号自身既不是“真正的数值”,也不是“位值”或“倍值”,而是“浮值”——它们只有在占据数位之时、与数位位值结合起来才能表示具体真实数值。古印度记数符号以及由此而发展流行的、后来称为“阿拉伯

就是记数符号。设置个位、十位、百位、千位„的记数方法的确是数符”(0~9)

一种非常巧妙的方法,它虚位以待,“浮值符号”一旦落位就可表示具体的真实数值。